ଦଶ ଲକ୍ଷ ମୂଲ୍ୟର ଏକ ଅସମାହିତ ପ୍ରଶ୍ନ

-Subharthi Paul and Soujanya Barik

To read the article in English click here.

ଉପକ୍ରମଣିକା:

ଆମକୁ କଷ୍ଟ ଲାଗୁଥିବା sines, cosines, log ଇତ୍ୟାଦି ସହିତ କିଛି ବାହାର କାର୍ଯ୍ୟ/ ଫଲନ ସହିତ ପରିଚିତ | ରିମାନ୍ ଙ୍କ ଜେଟା ଫଳନ ଏତେ କଷ୍ଟ ଦେଖାଯାଏ ନାହିଁ, କିନ୍ତୁ ଏହାର ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକର ଅନେକ ଅଂଶ ଅତ୍ୟନ୍ତ ପ୍ରତିକ୍ରିୟାଶୀଳ ଏବଂ ଚିନ୍ତାଧାରା ଉତ୍ତେଜକ | ବାସ୍ତବରେ, ଏହା ଏକ ମିଲିୟନ ଡଲାର ଗଣିତ ସମସ୍ୟା ସୃଷ୍ଟି କରିଛି - “ରିମାନ୍ ପରିକଳ୍ପନାର ପ୍ରମାଣ” |

ଜେଟା ଫଳନ କ’ଣ?

ମିଲିୟନ ଡଲାର୍ “ରିମାନ୍ ଙ୍କ ପରିକଳ୍ପନା ” ସହିତ ଆଗକୁ ଯିବା ପୂର୍ବରୁ, ଆସନ୍ତୁ ଦେଖିବା ଜେଟା ଫଳନ କିପରି ଦେଖାଯାଏ:

$\zeta (s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+.....$

ଏଠାରେ, ଯଦି ଆମେ $s>1$ ମୂଲ୍ଯ ଦେଉ, ତେବେ ଆମେ କିଛି ଅଦ୍ଭୁତ ଦେଖାଯାଉଥିବା ମୂଲ୍ୟ ପାଇଥାଉ | ସେହିପରି  $s=2$ ପାଇଁ:

$\zeta (2) = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+..... = \frac{\pi^2}{6}$

ଆମେ ସହଜରେ ପ୍ରମାଣ କରିପାରିବା ଯେ ଉପରୋକ୍ତ କ୍ରମ ଏକାଭିମୁଖୀ କିନ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟା $\dfrac{\pi^2}{6}$ ଏକ ବିଚିତ୍ର ପସନ୍ଦ ପରି ମନେହୁଏ, ନୁହେଁ କି? ଭାଗ୍ୟବଶତଃ, ଫଳାଫଳ ପ୍ରମାଣଯୋଗ୍ୟ! ଗଣିତଜ୍ଞମାନେ ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କୁ ଅନ୍ତର୍ଭୂକ୍ତ କରି) ନେବାକୁ ଏବଂ ଫଳାଫଳ ଗଣନା କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିବାବେଳେ ଅସୁବିଧା ଆରମ୍ଭ ହୁଏ |

ଠିକ୍, ଯଦି ଆପଣ $s= -1$ ନିଅନ୍ତି, କ୍ରମ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ହେବ:

$\zeta (-1) = \frac{1}{1^{-1}}+\frac{1}{2^{-1}}+\frac{1}{3^{-1}}+\frac{1}{4^{-1}}+.....$

$\zeta (-1) = 1+2+3+4+.....$

ଏଠାରେ, ଆମେ କହିବାକୁ ଉତ୍ସାହିତ ହେବୁ ଯେ ଉପରୋକ୍ତ ଅନୁକ୍ରମ କେନ୍ଦ୍ରଠୁ ଦୂରେଇଯାଏ | ଅନନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସକାରାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଏକ ସୀମିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଇପାରିବ ନାହିଁ, ହୁଏତ, ଏହା ହେଇପାରେ !!

ଜେଟା ଫଳନ ଉପରେ ରିମାନ୍ ଙ୍କ କାର୍ଯ୍ୟ:

ରିମାନ୍ ଉଭୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାରେ $s$ ର ପ୍ରଭାବକ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତାର କରି ଫଳନ ଗଣନା କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିବା ପୂର୍ବରୁ $Re(s)>1$ ପାଇଁ ଜେଟା ଫଳନ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥିଲା | ତେଣୁ, ଆର୍ଗାଣ୍ଡ ପ୍ଲେନ୍ ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରସଙ୍ଗ ପାଇଁ ଜେଟା ଫଳନ ଗଣନା କରାଯାଇପାରେ | ତେଣୁ, ଆସନ୍ତୁ $s= 2+i$ କୁ ବିଚାର କରିବା:

$\zeta (2+i) = \frac{1}{1^{2+i}}+\frac{1}{2^{2+i}}+\frac{1}{3^{2+i}}+\frac{1}{4^{2+i}}+.....$

ତେଣୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକୃତ ସଂଖ୍ୟାରେ ଜଟିଳ ଘାତ ରହି ପାରିବ| ଜଟିଳ ଶକ୍ତିଗୁଡ଼ିକୁ କିପରି ଗଣନା କରାଯିବ ତାହା ବୁଝିବା ପାଇଁ, ଏକ କାଳ୍ପନିକ ସଂଖ୍ୟା: $\frac{1}{3^{2+i}}$   ସହିତ ଚେଷ୍ଟା କରିବା |

ଏବେ,  $\frac{1}{3^{2+i}}$ ର ମୂଲ୍ୟ x ହେବ |  

$\implies x = \frac{1}{3^{2+i}}$

$\implies      x = e^{ln(\frac{1}{3^{2+i}})}$

$\implies     x = \frac{1}{3^2}\cdot e^{-i ln(3)}$

$\implies     x = \frac{1}{3^2}\cdot (cos(ln(3)) - i sin(ln(3)))$

ତେଣୁ, $\zeta$(2+i) ଏହିପରି ଭାବେ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ,

$\zeta (2+i) = 1+\frac{1}{2^2}.(cos(ln(2))-i sin(ln(2)))+ \frac{1}{3^2}.(cos(ln(3))-i sin(ln(3)))+.....$

ତେଣୁ, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ $s \in C$ ପାଇଁ, ଜେଟା ଫଳନ ଜଟିଳ ମୂଲ୍ୟ ଦେଇଥାଏ | କିନ୍ତୁ, ଶୀଘ୍ର ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହେବା ପୂର୍ବରୁ, ଆସନ୍ତୁ ପୁଣି ଥରେ $s \in C : Re(s) \leq 1$ କୁ ଦେଖିବା | ଆମେ ଯେପରି ଆଗରୁ ଦେଖିଥିଲେ, $Re(s)\leq 1$ ଏହି ଅନୁକ୍ରମ କେନ୍ଦ୍ର ବା ଶୂନ୍ୟ ଠାରୁ ଦୂରେଇ ଯାଏ। ତେଣୁ, ଯୋଗଫଳ କେନ୍ଦ୍ର ଠାରୁ ଦୂରେଇ ଯିବ ଏବଂ $Re(s)\leq 1$ ପାଇଁ ଜେଟା ଫଳନର ସତ୍ତା ରହିବ ନାହିଁ |

$S$ ପାଇଁ ପ୍ରତିକୂଳ ମୂଲ୍ୟ: $Re(s)\leq 1$ :

ରିଏମାନ୍ “ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ଅନୁବର୍ତ୍ତନ” ବ୍ୟବହାର କରି ଦର୍ଶାଇଲେ ଯେ ଜେଟା ଫଳନ $s=1$ ବ୍ୟତୀତ ଜଟିଳ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିସ୍ତାର ହୋଇପାରିବ | ବାସ୍ତବରେ, ସେ ସମାନ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ଏହାକୁ ଗଣନା କରିଥିଲେ ଯେପରି ଅନେକ ପ୍ରତିକୂଳ ଏବଂ ଆକର୍ଷଣୀୟ ଫଳାଫଳ ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲା:

$\zeta (-1) = 1+2+3+4+...... = \frac{-1}{12}$

$\zeta (-2) = 1+4+9+16+......= 0$

ତାଙ୍କର ଗାଣିତିକ ଧାରା ପ୍ରମାଣରେ ସେ ଦେଖାଇ ପାରିବେ ଯେ $\forall s \in$ ଋଣାତ୍ମକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, ଜେଟା ଫଳନ ଶୂନ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଦେଇଥାଏ |ସେ ଏହାକୁ କ୍ଷୁଦ୍ର ଶୂନ୍ୟ ବୋଲି କହିଥିଲେ |

ରିମାନ୍ ପରିକଳ୍ପନା:

ବର୍ତ୍ତମାନ ଯେହେତୁ ଜେଟା ଫଳନ ବିଷୟରେ ଆମର ଏକ ଧାରଣା ଅଛି, ଆସନ୍ତୁ ରିମାନ୍ ପରିକଳ୍ପନା ବିଷୟରେ ଜାଣିବା | 

ରିମାନ୍ ଜାଣିବାକୁ ପାଇଲେ ଯେ କ୍ଷୁଦ୍ର ଶୂନ୍ୟ ବ୍ୟତୀତ, ଜେଟା ଫଳନରେ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଶୁନ୍ୟ ଅଛି | ସେ ହୃଦୟଙ୍ଗମ କଲେ ଯେ ଶୂନ୍ୟ ଗୁଡ଼ିକ ସେହି ଅଞ୍ଚଳରେ ଅଛି ଯେଉଁଠାରେ $s\in \mathbb{C}:Re(s)\in[0,1]$ | ସେ ଏହି ଅଞ୍ଚଳକୁ “ଜଟିଳ ଷ୍ଟ୍ରିପ୍” ବୋଲି କହିଥିଲେ।

ରିମାନ୍ ଆହୁରି ଅନୁମାନ କରିଛନ୍ତି ଯେ ଜେଟା ଫଳନର ସମସ୍ତ ଅଣ-ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଶୂନ୍ୟ ଗୁଡିକ ହେଉଛନ୍ତି $s\in \mathbb{C}:Re(s)=\frac{1}{2}$ | 

ଏହି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳାଫଳ ରିମାନ୍ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରମାଣିତ ହେଇନଥିଲା | ସୁପର କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବ୍ୟବହାର କରି $Re(s)=\frac{1}{2}$ କ୍ରମରେ ଅନେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଗଣନା କରାଯାଇଥିଲା ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଉତ୍ତର 0 ଥିଲା |

ପରିକଲ୍ପନାର ପ୍ରମାଣ କରିବା କିମ୍ବା ଅସ୍ବୀକାର କରିବାର ବ୍ୟବହାର

ବିଭିନ୍ନ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଗାଣିତିକ ଫଳାଫଳରେ ଜେଟା ଫଳନକୁ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇଛି| ରିମାନ୍ ପରିକଳ୍ପନା କୁ ଏକ ସ୍ଵୀକାର୍ଯ୍ୟ ଭାବରେ ଗ୍ରହଣ କରି ଏହି ଫଳାଫଳଗୁଡିକ ପ୍ରାପ୍ତ କରାଯାଇଥାଏ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ହେଉଛି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଉପପାଦ୍ୟ| ରିମାନ୍ ଜେଟା ଫଳନ, ବାସ୍ତବରେ, ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ଜଡିତ | ଏହାକୁ ଦର୍ଶାଯାଇପାରିବ:

$\zeta (s) = \Pi (1-\frac{1}{p^s})^{-1}      [p \in primes]$

ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଉପପାଦ୍ୟ, ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକର ବଣ୍ଟନକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ ଏବଂ ଏହା ରିମାନ୍ ପରିକଳ୍ପନାକୁ ଏକ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଭାବରେ ନେଇଥାଏ | ଏହିପରି, ଯଦି କୌଣସି ଶୂନ୍ୟ ଜଟିଳ ଷ୍ଟ୍ରିପ୍ ରୁ ମିଳିଥାଏ, କୌଣସି ଏକ ମୂଲ୍ୟ $s: Re(s)\neq \frac{1}{2}$ ପାଇଁ ରିମାନ୍ ପରିକଳ୍ପନା ଭୁଲ୍ ପ୍ରମାଣିତ ହେଇପାରିବ ଯାହା ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଗାଣିତିକ ଉପପାଦ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ମଧ୍ୟ ଅସ୍ୱୀକାର କରିବ |

ଉତ୍ସ:

• Image: https://en.m.wikipedia.org/wiki/File:Zeta_polar.svg
• Stein and Shakarchi complex Analysis.

Written By-

Subharthi Paul and Soujanya Barik